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By A.K. Boiarchuk; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko.

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Example text

Toda intersección de una familia (finita o no) de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Toda unión de una familia finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. „ Demostración. Si V a € A los conjuntos Fa son cerrados, entonces los conjuntos CFa son abiertos. Por la segunda formula de (2), p. 1-4, tenemos cf\Fa=^\JCFa. 3, el conjunto | J CF a es abierto. a€A Por consiguiente, el conjunto C f ] F a también lo es. Entonces, a€A por definición, el conjunto f | Fa es cerrado. Demostremos ahora Asegunda parte del teorema.

Según la definición de aplicación uniformemente continua, tenemos (V £ > 0) (3 7/ > 0)(V 6 D„ y2 E Dg), pY{ylt y2) < v): pz{g{yi), g{y2))< e. & Dado que la aplicación / es uniformemente continua, entonces para dicho rj > 0 existe un 6 > 0 tal que Vfo 6 Df, x2 e Df){px{x1,x2) < 6) 3> <(3) PY(f(xl), f(x2)) < 7]. A partir de (2) y (3) obtenemos que Ve > 0 3 6 > 0: V f o e D^ x2 6 Dgof){px(xux2) <ó)=> h(x2)) Pz(h(xi), Teorema 2 (de Cantor).

Mm ^ ' y "•' Solución. Utilizando las reglas de las operaciones con números complejos y la igualdad zz = \z[2, obtenemos /1 ¿vi _ (l-i)(l-i) "" |1 + ¿|2 2(1 + 3») ~ |1 - 3¿|2 zs = 2 = 1 + 3* 5 J (1 + í) _ _ _ _2i 2 2 i iV3\ ~+ ^ 26 = = n — = = í t-!. + 5 5' 6 J1-6 _ 26et'2ff = 2 6 ; 3 10 10 V2 + v s ) 5 e i}-10 = e ¡ f i r = = e í ( í + 2 , ) ¿ X ¡ ! X i _ ¿ \ ¿f /I /i z5 = = e 2 2 / _2 2 e í 3 * = - 2 : = 2 + i2 V5. 4 e * s e n (j + 7 r • Solución. Recordemos que

es la rama principal de — — a —.

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