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By Dietrich Braess

Bei der numerischen Behandlung partieller Differentialgleichungen treten oft überraschende Phänomene auf. Neben der zügigen Behandlung der klassischen Theorie, die bis an die aktuelle Forschung heranführt, wird deshalb viel Wert auf die Darstellung von Beispielen und Gegenbeispielen gelegt. Die Beispiele haben mit dazu beigetragen, dass das Buch jetzt zu den Standardwerken bei den Finiten Elementen zählt.

Mit der fünften Auflage erfolgte eine weitere Abrundung bei den Themen, deren Bedeutung in den letzten Jahren gewachsen ist. Mit der Theorie der a posteriori Fehlerschätzer wird a priori info über den Diskretisierungsfehler gewonnen, die in der klassischen Theorie noch nicht hergeleitet wurden und die – schärfer als sonst –eine Eigenart von a posteriori Schätzern beleuchtet. Die Behandlung von Platten in der Festkörpermechanik erhält jetzt mit dem Zwei-Energien-Prinzip eine solide Grundlage, nachdem in der letzten Auflage die Behandlung von Locking Effekten in eine vollständige Theorie mündete.

Das Buch richtet sich an Studierende der Mathematik im three. Und four. Studienjahr und in den späteren Kapiteln auch an junge Forscher, bei denen Finite Elemente im Mittelpunkt ihrer Arbeit stehen.

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3. Differenzenverfahren Bei der numerischen Behandlung elliptischer Differentialgleichungen mit Differenzenverfahren berechnet man Näherungswerte der Lösung auf den Punkten eines rechteckigen Gitters. Dabei werden die Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt. Die Stabilität liefert hier ein diskretes Analogon des Maximumprinzips, das als diskretes Maximumprinzip bezeichnet wird. Der Einfachheit halber sei ein Gebiet im 2-dimensionalen Raum. Diskretisierung Zur Diskretisierung wird über das Gebiet ein 2-dimensionales Gitter gelegt.

Es gilt max |Uh (z) − u(z)| → 0 für h → 0. 5) h Beweis. Durch die Taylor-Entwicklung im Punkt (xi , yi ) erkennt man, dass L h u(xi , yi ) = −u x x (ξi , yi ) − u yy (xi , ηi ) ist, wobei ξi und ηi passende Zwischenwerte darstellen. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit strebt der lokale Diskretisierungsfehler maxi |ri | gegen 0. 6) max |ηi | ≤ 4 und damit Konvergenz. 6) O(h) bzw. O(h 2 ) Abschätzungen für den globalen Fehler, falls u in C 3 ( ¯ ) bzw. in C 4 ( ¯ ) enthalten ist. 24 I. Einführung Grenzen der Konvergenztheorie Die Voraussetzungen des Konvergenzsatzes an die Ableitungen sind häufig zu einschneidend.

Letzteres bezeichnet man als Stabilität. Man sagt: Konsistenz und Stabilität bewirken zusammen Konvergenz. 1) zu verdeutlichen, unterbrechen wir die Rechnung für eine formale Betrachtung. Wir interessieren uns für die Differenz der Lösungen der beiden Gleichungssysteme Ax = b, (A + F)y = b, wobei F als kleine Fehlermatrix aufgefasst wird. Offensichtlich ist (A + F)(x − y) = F x. Also ist der Fehler in der Lösung x−y = ( A+F)−1 ·F x klein, wenn F klein und (A+F)−1 beschränkt ist. Bei der Abschätzung des globalen Fehlers mittels der Störungsrechnung ist zu beachten, dass sich die gegebene elliptische Gleichung und die Differenzengleichung auf werden wir lieber verschiedene Räume beziehen.

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