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By Oliva W.M.

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Bezeichnet man endlich mit w den Winkel zwischen diesen Elementen, so erkennt man leicht, dass "JI'E. [127J cosw = ,~ rEG wird. Ferner ist derInbalt des parallelogrammformigenFlachenelements, das von zwei Linien des ersten Systems, zu denen die Werthe q und q + dq gehOren, und von zwei Linien des zweiten dp gehOren, begrenzt Systems, zu denen die Werthe p und p wird, = YEO - F2. dp . dq. Eille beliebige Linie auf der Flache, die zu keinem jener beiden Systeme gehort, entsteht, wenn man p und q als Functionen einer neuen Veranderlichen, oder eine von beiden als Function der and ern auffasst.

Die allgemeinen Formeln fUr das Krllmmungsmaass und fllr die Richtungsanderung einer kttrzesten Linie, die in den Artikeln 11, 18 abgeleitet sind, werden viel einfacher, wenn die Grossen p, q so gewlihlt sind, dass die Linien des ersten Systems die des zweiten llberall senkrecht schneiden, d. h. dass allgemein w = 90° oder F = 0 ist. Dann ergiebt sich nlimlich flir das Krttmmungsmaass 4E2G2lc = E~E ~G ~q - ~q + E(~G)2 + G~E ~G + G (~E)2 ~p 2EG ( ~q'J. ~2E + ~p ~p ~q ~2G) ~p2 ' und fllr die Aenderung des Winkels 0 -V EG .

Unsere allgemeinen Formeln werden bei Weglassnng del' . Glieder viertel' Ordnung sehr einfache, nlimlich A* = A - T~a(2a + f1 + 1'), B* = B - T"iIJ(a + 2(1 + y), C* = C- na(a + {i + 21';' An den Winkeln A, B, C sind daher bei einer nicht kugel- formigen ]<'ll1che ungleiche Reductionen anzubringen, damit nach del' Aenderung die Sinus den gegenfiberliegenden Seiten proportional werden. Die Ungleichheit wird, allgemein zu reden, von del' dritten Ordnung sein, indessen kann dieselbe, falls die Oberflache nul' wenig von einer Kugel abweicht, eine hohere O"dnung en'eichen: selbst bei den grossten Dreiecken auf de,' Erdoberflliche, [146] deren Winkel man noch messen kann, kann die Differenz stets als unmerklich betrachtet werden.

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