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By Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Andreas Lochmann

Diese Einführung in die research orientiert sich in ihrem Aufbau an der zeitlichen Entwicklung der Themen. Die ersten zwei Kapitel schlagen den Bogen von historischen Berechnungsmethoden praktischer Problemen hin zu unendlichen Reihen, Differential- und Integralrechnung und zu Differentialgleichungen. Das Etablieren einer mathematisch stringenten Denkhaltung im 19. Jahrhundert für research ein und mehrerer Variablen wird in den Kapiteln III und IV behandelt. Viele Beispiele, Berechnungen und Bilder ergänzen das Buch und machen es zu einem Lesevergnügen für Studierende, Lehrer und Forscher. Aus den Besprechungen: the purpose of this fascinating new contribution to the sequence Readings in arithmetic is an try and restoration the historic order within the presentation of easy mathematical analysis...such a old technique promises a truly fruitful and fascinating method of mathematical research. Jean Mawhin, Zentralblatt The authors contain plenty of once-traditional matters that have now vanished from the research curriculum. ...The paintings is particularly good illustrated. The ebook is well an research textual content, instead of a background, yet loads of trustworthy historic fabric is incorporated. For these looking an alternative choice to the normal method, it sort of feels to me to be of serious curiosity. Thomas Archibald, Mathematical experiences The authors...have assembled a powerful array of annotated effects, quotations, tables, charts, figures and drawings, many copied from unique documents....they write with nice enthusiasm and with obtrusive affection for either research and historical past. John Troutman, American Mathematical Monthly

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15) ln(1 − x) = −x − ln 1+x x3 x5 x7 x9 =2 x+ + + + +... 1−x 3 5 7 9 Beispiele. 14a) ln 2 = + + + +... 15a) ln 2 = 2 + + + + ... 15a) einander gegen¨uber. Es ist offensichtlich, welche Reihe die beste ist. 2. 15a) 0,667 0,6914 0,69300 0,693135 0,6931460 0,69314707 0,693147170 0,6931471795 0,693147180559 0,6931471805498 0,6931471805589 0,69314718055984 Berechnung von ln p fur ¨ Primzahlen ≥ 3. 1), so reicht es aus, die Logarithmen der Primzahlen zu kennen. Die Logarithmen zusammengesetzter ganzer Zahlen und rationaler Zahlen erh¨alt man sodann u¨ ber Addition und Subtraktion.

Wir m¨ochten betonen, dass dieses Argument gef¨ahrlich ist, da es unendlich oft angewendet werden muss. + = 0 + 0 + 0 + . . = 0. 2 zur¨uckkommen. 17) mit der von (1 + N1 )N . 1= Potenzen von e. B. rationale Zahl ist. Das bedeutet, dass wir gleichzeitig N gegen Unendlich und ω gegen Null streben lassen, in der Weise, dass ihr Produkt konstant gleich x bleibt. 18) 1+ x N N → 1+x+ x2 x3 x4 + + + ... 1·2 1·2·3 1·2·3·4 28 I. 1. Berechnung von e N (1 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 1 N ) N 2,000 2,250 2,370 2,441 2,488 2,522 2,546 2,566 2,581 2,594 2,604 2,613 2,621 2,627 2,633 2,638 2,642 2,646 2,650 2,653 2,656 2,659 2,661 2,664 2,666 2,668 2,670 2,671 1+ 1 1!

Babylonische Grade 10 1 0 3 π −1 0 α 1 0 ABB. 1b. Bogenl¨ange als Winkelmaß Definition der trigonometrischen Funktionen. Wie kann man die Gr¨oße eines Winkels messen, wenn man nur u¨ ber ein gerades Lineal verf¨ugt? Nun, man kann lediglich die Sehne vermessen (siehe Abb. 2) und dann mit Hilfe von Tabellen 4 = Πτ oλεµα˜ιoς, Ptolemeus, Ptolemy, Ptolem´ee, Tolomeo, Ptolemei˘ , . . 44 I. Einf¨uhrung in die Analysis des Unendlichen auf den Winkel schließen, oder umgekehrt. Solche Tabellen haben ihren Ursprung in der griechischen Antike (Hipparch 150 v.

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