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By Demailly Jean-Pierre

Demailly J.-P. examine numerique et equations differentielles (EDP Sciences, 2006)(ISBN 286883891X)(fr)(345s)_MN_

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Comme ln |z| = Re(Log z), on en d´eduit ais´ement φ(0) = 0, φ(a) = Re 1− 1 a Log (1 − a) − 1 si a ∈ {0} ∪ [1, +∞[ grˆ ace `a une int´egration par parties. Si a ∈ [1, +∞[, un calcul analogue donne φ(1) = −1 et φ(a) = 1 − a1 ln (a − 1) − 1 pour a > 1. ) ´ Egalit´ e (i) : on effectue le changement de variable x = xj + ht, t ∈ [0, 1]. dx = h dt, Il vient : 1 h xj+1 ln |z − x| dx = xj 1 0 1 = 0 ln |z − xj − ht| dt ln |z − xj | · 1 − h h . t dt = ln |z − xj | + φ z − xj z − xj ´ Egalit´ e (ii) : s’obtient de mˆeme en posant x = xj+1 − ht.

Xn < xn sont des points fix´es de [a, b]. 56 Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles (a) Soit f ∈ C([a, b], R) telle que φ(f ) = 0. Montrer que pour tout i il existe ξi ∈ [xi , xi ] tel que f (ξi ) = 0. omes de (b) Montrer que la restriction φ : Pn → Rn+1 de φ `a l’espace Pn des polynˆ degr´e ≤ n est injective. En d´eduire que pour tout f ∈ C([a, b]), R) il existe un unique polynˆ ome Pn ∈ P tel que φ(pn ) = φ(f ). (c) On suppose ici que f est de classe C n+1 . En utilisant (a), majorer pn − f en fonction de f (n+1) et b − a.

C) M´ ethodes de Newton-Cotes Dans la m´ethode de Newton-Cotes de rang l, qu’on d´esignera dans la suite par N Cl , on prend li = l pour tout i, et les points ξi,j , 0 ≤ j ≤ l, sont les points ´equidistants ξi,j = αi + j αi+1 − αi l divisant [αi , αi+1 ] en l sous-intervalles ´egaux. Pour d´eterminer la formule de quadrature ´el´ementaire, on se ram`ene par changement de variable a` l’intervalle ome [αi , αi+1 ] = [−1, 1], subdivis´e par les points τj = −1 + j 2l . Le polynˆ d’interpolation d’une fonction f ∈ C([−1, 1]) est donn´e par l pl (x) = f (τj )Lj (x) j=0 avec Lj (x) = k=j x − τk .

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