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Demostración. La imagen f( K) es un compacto, por ende cerrado y acotado. Puesto que es acotado, los números M = sup \ J( z) 1 z E K J y m = inf \ J( z) 1 z son finitos. Ya quef(K) es cerrado, m y M están incluidos enf(K). • E K J Otra ilustración del uso de la compacidad está dada por el siguiente lema, el cual establece que l a distancia de un conjunto compacto a un conjunto cerrado es positiva. Esto es, debe haber u n espacio entre los dos conjuntos. Lema de la distancia. 2 1 . Suponga que K es compacto, C es cerrado y K n C = 0.

L! + 2! + para y e R. Por supuesto, esta definición no es muy legítima, ya que la convergen­ cia de series en C no ha sido aún discutida. En el capítulo 3 se mostrará que esta se­ rie efectivamente representa un número complejo bien definido para cada y, pero por el momento, la serie es usada informalmente como la base de la definición que sigue, la cual será precisa. Un ligero reordenamiento de la serie (usando el ejercicio 16, sección l. ) muestra que 5! ) 38 CAP. 1. FUNCIONES ANALÍTICAS Pero reconocemos que esto es simplemente cos y + i sen y.

4. 1 ) . Note que el va­ lor de E depende de z0, conforme z0 se acerca a la "orilla" de A, E se hace más pe­ real E > O tal que queña. Intuitivamente, un conjunto es abierto si no contiene a ninguno de sus puntos "frontera" u "orilla". 1 . Un conjunto abierto. Para un número r > O, la r-vecindad o r-disco en torno a un punto define como el conjunto D(z0; r) { z e = estudiante debe probar que para cada e tal que Wo E z0 en e, se lz - z01 < r j. Como práctica, el = ¡ z E e tal que e y r > O, el disco A lz - w01 < r j es en s í mismo, abierto.

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