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By Hans-Berndt Brinkmann, Dieter Puppe

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11 D’autre part, si u1 est une racine 4-ième de A, alors u1 pour toute racine 4-ième u de A : u u1 4 = Les solutions de l’équation en Z sont donc : 0 et, u A = = 1, A u41 Ceci montre que A admet exactement quatre racines 4-ièmes dans C, qui sont les racines carrées des racines carrées de A dans C. On cherche d’abord les racines carrées de A dans C. En notant u = x + i y, (x, y) ∈ R2 , on a : ⎧ 2 ⎧ 2 ⎪ ⎪ x − y2 = −7 x =9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 2 2 u = A = −7 + 24 i ⇐⇒ ⎪ ⇐⇒ ⎪ 2x = 24 y = 16 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x2 + y2 = |A| = 25 ⎪ ⎩ xy = 12 ⎧ ⎞ ⎛⎧ ⎪ ⎜⎜⎜⎪ ⎪ ⎪ x = −3 ⎟⎟⎟ x=3 ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ ⎟⎟⎟ .

Examiner P(0), P(2), P(9), ... En déduire que P − X s’annule sur les points d’une suite strictement croissante, et en déduire P = X. 2) Vérifier que X convient. , n (cf. 31), utin liser : P = P(k)Lk . 40 Noter P = n (X − xk ) et P = k=1 Utiliser le théorème de d’Alembert. 39 Raisonner par l’absurde : supposer que f admette au moins un zéro a ∈ R∗ . ak Xk . k=0 Montrer d’abord : ∀i ∈ 1 ; n , xi 0. Montrer ensuite : ∀k ∈ 1 ; n , 2 − xk 3(−xk )1/3 , en utilisant la comparaison entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique pour les trois nombres 1, 1, −xk .

Calculer ωk . 21 Calculs de sommes portant sur les racines n-ièmes de l’unité dans C Soient n ∈ N \ {0, 1}, ω une racine n-ième de l’unité dans C. Calculer : n−1 ωk a) k=0 n−1 b) k=0 n k ω. 22 Inégalité sur un module de nombre complexe Soit (a, b) ∈ C2 tel que |a| > 1 et |b| > 1. Montrer : a−b < 1. 23 Une propriété de trois nombres complexes de module 1 Soit (a, b, c) ∈ C3 tel que |a| = |b| = |c| = 1. Montrer : |ab + ac + bc| = |a + b + c|. 24 Étude d’une fonction homographique z− i . 1 − iz a) Montrer qu’il existe un complexe et un seul, noté a, n’ayant pas d’image par f , et qu’il existe un complexe et un seul, noté b, n’ayant pas d’antécédent par f .